สารบัญ:

เศษส่วนคืออะไร: ความงามของคณิตศาสตร์และอนันต์
เศษส่วนคืออะไร: ความงามของคณิตศาสตร์และอนันต์

วีดีโอ: เศษส่วนคืออะไร: ความงามของคณิตศาสตร์และอนันต์

วีดีโอ: เศษส่วนคืออะไร: ความงามของคณิตศาสตร์และอนันต์
วีดีโอ: Victoria Diggers Find The BIGGEST Nugget Ever | Aussie Gold Hunters: Countdown to the Motherload 2024, มีนาคม
Anonim

Fractals เป็นที่รู้จักกันดีมานานนับศตวรรษ ได้รับการศึกษามาอย่างดีและมีการใช้งานมากมายในชีวิต อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์นี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดที่เรียบง่าย: รูปทรงมากมาย ความงามและความหลากหลายที่ไม่มีที่สิ้นสุด สามารถหาได้จากโครงสร้างที่ค่อนข้างเรียบง่ายโดยใช้เพียงสองการดำเนินการ - การคัดลอกและการปรับขนาด

ต้นไม้ ชายทะเล เมฆ หรือหลอดเลือดในมือของเรามีอะไรที่เหมือนกัน? เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าสิ่งของเหล่านี้ไม่มีอะไรเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม อันที่จริง มีคุณสมบัติอย่างหนึ่งของโครงสร้างที่มีอยู่ในออบเจกต์ที่ระบุไว้ทั้งหมด: มีลักษณะเหมือนตัวเอง จากกิ่งก้านเช่นเดียวกับจากลำต้นของต้นไม้มีกิ่งที่เล็กกว่าจากกิ่งนั้น - กิ่งที่เล็กกว่าเป็นต้นนั่นคือกิ่งก้านก็เหมือนต้นไม้ทั้งต้น

ระบบไหลเวียนโลหิตถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกัน: หลอดเลือดแดงออกจากหลอดเลือดแดงและจากหลอดเลือดเหล่านี้ - เส้นเลือดฝอยที่เล็กที่สุดที่ออกซิเจนเข้าสู่อวัยวะและเนื้อเยื่อ ลองดูภาพถ่ายดาวเทียมของชายฝั่งทะเล เราจะเห็นอ่าวและคาบสมุทร มาดูกันดีกว่า แต่จากมุมสูง เราจะเห็นอ่าวและแหลม ทีนี้ลองนึกภาพว่าเรากำลังยืนอยู่บนชายหาดและมองที่เท้าของเรา มีก้อนกรวดที่ยื่นลงไปในน้ำเสมอมากกว่าที่เหลือ

นั่นคือแนวชายฝั่งยังคงคล้ายกับตัวเองเมื่อซูมเข้า นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน (แม้ว่าจะเติบโตในฝรั่งเศส) เบอนัวต์ มานเดลบรอต นักคณิตศาสตร์เรียกว่าคุณสมบัติของเศษส่วนวัตถุ และวัตถุดังกล่าวเอง - เศษส่วน (จากภาษาละติน fractus - แตก)

Fractals
Fractals

เศษส่วนคืออะไร?

แนวคิดนี้ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้น คำว่า "แฟร็กทัล" จึงไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปแล้ว แฟร็กทัลคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: • มีโครงสร้างที่ซับซ้อนที่การขยายใดๆ (ตรงข้ามกับ ตัวอย่างเช่น เส้นตรง ส่วนใด ๆ ที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด - a ส่วนของเส้นตรง) • เป็น (โดยประมาณ) มีความคล้ายคลึงในตัวเอง • มีมิติ Hausdorff (เศษส่วน) เศษส่วน ซึ่งมากกว่ามิติทอพอโลยี • สามารถสร้างได้ด้วยโพรซีเดอร์แบบเรียกซ้ำ

เรขาคณิตและพีชคณิต

การศึกษาเศษส่วนในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19 และ 20 ค่อนข้างเป็นตอนๆ มากกว่าแบบเป็นระบบ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ ส่วนใหญ่ศึกษาวัตถุที่ "ดี" ที่คล้อยตามการวิจัยโดยใช้วิธีการและทฤษฎีทั่วไป ในปี 1872 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Karl Weierstrass ได้สร้างตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีความแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม โครงสร้างเป็นนามธรรมทั้งหมดและยากต่อการเข้าใจ

ดังนั้นในปี 1904 ชาวสวีเดน Helge von Koch ได้คิดค้นเส้นโค้งที่ต่อเนื่องกันซึ่งไม่มีการสัมผัสกันที่ใดก็ได้ และเป็นการวาดที่ค่อนข้างง่าย ปรากฎว่ามีคุณสมบัติเป็นเศษส่วน หนึ่งในความแตกต่างของเส้นโค้งนี้เรียกว่า "เกล็ดหิมะ Koch"

Paul Pierre Levy ชาวฝรั่งเศสผู้ให้คำปรึกษาในอนาคตของ Benoit Mandelbrot หยิบแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงในตนเองขึ้นมา ในปี ค.ศ. 1938 เขาตีพิมพ์บทความเรื่อง "ระนาบและเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพื้นที่ ซึ่งประกอบด้วยส่วนที่คล้ายคลึงกันทั้งหมด" ซึ่งอธิบายเศษส่วนอีกอันหนึ่ง นั่นคือ เส้นโค้ง Lévy C เศษส่วนข้างต้นทั้งหมดเหล่านี้สามารถนำมาประกอบกับเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต) ชั้นหนึ่งได้

พืชพรรณ
พืชพรรณ

อีกคลาสหนึ่งคือไดนามิกแฟร็กทัล (พีชคณิต) ซึ่งรวมถึงเซตแมนเดลบรอต การศึกษาครั้งแรกในทิศทางนี้เริ่มต้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 และเกี่ยวข้องกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia และ Pierre Fatouในปี 1918 ไดอารี่เกือบสองร้อยหน้าของจูเลียซึ่งอุทิศให้กับการทำซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะที่ซับซ้อน ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งมีการอธิบายฉากของจูเลีย ซึ่งเป็นกลุ่มเศษส่วนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเซตมันเดลบรอต งานนี้ได้รับรางวัล French Academy แต่ไม่มีภาพประกอบ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะชื่นชมความงามของวัตถุที่ค้นพบ

แม้ว่างานนี้จะยกย่องจูเลียในหมู่นักคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น แต่ก็ถูกลืมไปอย่างรวดเร็ว ไม่ถึงครึ่งศตวรรษต่อมาที่คอมพิวเตอร์กลับมาสนใจอีกครั้ง พวกเขาเป็นผู้ทำให้ความมั่งคั่งและความงามของโลกของเศษส่วนปรากฏให้เห็น

ขนาดเศษส่วน

วิดเจ็ตที่น่าสนใจ
วิดเจ็ตที่น่าสนใจ

ดังที่คุณทราบ มิติ (จำนวนการวัด) ของรูปทรงเรขาคณิตคือจำนวนพิกัดที่จำเป็นในการกำหนดตำแหน่งของจุดที่วางอยู่บนรูปนี้

ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งถูกกำหนดโดยพิกัดเดียวบนพื้นผิว (ไม่จำเป็นต้องเป็นระนาบ) โดยสองพิกัดในปริภูมิสามมิติด้วยพิกัดสามพิกัด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่กว้างกว่านั้น คุณสามารถกำหนดมิติด้วยวิธีนี้: การเพิ่มขึ้นของมิติเชิงเส้น, พูด, สองครั้ง, สำหรับวัตถุหนึ่งมิติ (จากมุมมองทอพอโลยี) (ส่วน) นำไปสู่การเพิ่มขนาด (ความยาว) สองครั้งสำหรับสองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) การเพิ่มขนาดเชิงเส้นแบบเดียวกันทำให้ขนาด (พื้นที่) เพิ่มขึ้น 4 เท่าสำหรับสามมิติ (ลูกบาศก์) - 8 เท่า นั่นคือ มิติข้อมูล "ของจริง" (หรือที่เรียกว่า Hausdorff) สามารถคำนวณเป็นอัตราส่วนของลอการิทึมของการเพิ่ม "ขนาด" ของวัตถุต่อลอการิทึมของการเพิ่มขนาดเชิงเส้น นั่นคือสำหรับเซ็กเมนต์ D = บันทึก (2) / บันทึก (2) = 1 สำหรับระนาบ D = บันทึก (4) / บันทึก (2) = 2 สำหรับไดรฟ์ข้อมูล D = บันทึก (8) / บันทึก (2) = 3.

ตอนนี้ให้เราคำนวณขนาดของเส้นโค้ง Koch สำหรับการก่อสร้างที่ส่วนของหน่วยแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันและช่วงตรงกลางจะถูกแทนที่ด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยไม่มีส่วนนี้ ด้วยการเพิ่มขนาดเชิงเส้นของส่วนต่ำสุดสามครั้ง ความยาวของเส้นโค้ง Koch จะเพิ่มขึ้นในบันทึก (4) / บันทึก (3) ~ 1, 26 นั่นคือ ขนาดของเส้นโค้ง Koch เป็นเศษส่วน!

วิทยาศาสตร์และศิลปะ

ในปี 1982 หนังสือของ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งผู้เขียนรวบรวมและจัดระบบข้อมูลเกือบทั้งหมดที่มีอยู่ในเวลานั้นเกี่ยวกับเศษส่วนและนำเสนอในลักษณะที่ง่ายและเข้าถึงได้ ในการนำเสนอของเขา Mandelbrot ไม่ได้เน้นที่สูตรที่ยุ่งยากและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ แต่เน้นที่สัญชาตญาณทางเรขาคณิตของผู้อ่าน ขอบคุณภาพประกอบที่สร้างด้วยคอมพิวเตอร์และเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ซึ่งผู้เขียนเจือจางองค์ประกอบทางวิทยาศาสตร์ของเอกสารอย่างเชี่ยวชาญหนังสือเล่มนี้จึงกลายเป็นหนังสือขายดีและเศษส่วนกลายเป็นที่รู้จักของสาธารณชนทั่วไป

ความสำเร็จของพวกเขาในหมู่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกิดจากความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างและสูตรที่ง่ายมากที่นักเรียนมัธยมปลายสามารถเข้าใจได้ ภาพที่มีความซับซ้อนและความงามที่น่าทึ่ง เมื่อคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลมีพลังมากพอ แม้แต่กระแสศิลปะทั้งหมดก็ปรากฏขึ้น - ภาพวาดเศษส่วน และเจ้าของคอมพิวเตอร์เกือบทุกคนสามารถทำได้ ตอนนี้บนอินเทอร์เน็ต คุณสามารถค้นหาไซต์ต่างๆ ที่ทุ่มเทให้กับหัวข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

โค้งโคช
โค้งโคช

สงครามและสันติภาพ

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หนึ่งในวัตถุธรรมชาติที่มีคุณสมบัติเป็นเศษส่วนคือแนวชายฝั่ง เรื่องราวที่น่าสนใจเรื่องหนึ่งเกี่ยวข้องกับเขา หรือมากกว่า ด้วยความพยายามที่จะวัดความยาวของมัน ซึ่งเป็นพื้นฐานของบทความทางวิทยาศาสตร์ของ Mandelbrot และยังมีการอธิบายไว้ในหนังสือของเขา "The Fractal Geometry of Nature"

นี่คือการทดลองที่จัดแสดงโดยลูอิส ริชาร์ดสัน นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักอุตุนิยมวิทยาที่มีความสามารถและแปลกประหลาด แนวทางหนึ่งในการวิจัยของเขาคือการพยายามค้นหาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสาเหตุและความน่าจะเป็นของความขัดแย้งทางอาวุธระหว่างทั้งสองประเทศ ท่ามกลางพารามิเตอร์ที่เขาคำนึงถึงคือความยาวของพรมแดนร่วมของทั้งสองประเทศที่ทำสงครามเมื่อเขารวบรวมข้อมูลสำหรับการทดลองเชิงตัวเลข เขาพบว่าในแหล่งต่างๆ ข้อมูลบนพรมแดนร่วมระหว่างสเปนและโปรตุเกสนั้นแตกต่างกันมาก

สิ่งนี้กระตุ้นให้เขาค้นพบสิ่งต่อไปนี้: ความยาวของพรมแดนของประเทศขึ้นอยู่กับผู้ปกครองที่เราวัดพวกเขา ยิ่งสเกลเล็กลงเท่าใด ขอบก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น เนื่องจากการขยายที่สูงขึ้นทำให้สามารถพิจารณาแนวโค้งชายฝั่งได้มากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งก่อนหน้านี้มองข้ามไปเนื่องจากความหยาบของการวัด และหากด้วยการเพิ่มขนาดแต่ละครั้งการเปิดส่วนโค้งของเส้นก่อนหน้านี้ที่ไม่ได้คำนึงถึงก่อนหน้านี้ปรากฎว่าความยาวของขอบเขตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด! จริงอยู่ สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น - ความแม่นยำในการวัดของเรามีขีดจำกัด ความขัดแย้งนี้เรียกว่าเอฟเฟกต์ริชาร์ดสัน

Fractals
Fractals

เศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ (เรขาคณิต)

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ในกรณีทั่วไปมีดังนี้ ก่อนอื่น เราต้องการรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสมสองรูป เรียกว่าฐานและส่วนย่อย ในระยะแรกจะมีการอธิบายพื้นฐานของเศษส่วนในอนาคต จากนั้นบางส่วนของมันถูกแทนที่ด้วยชิ้นส่วนที่ถ่ายในระดับที่เหมาะสม - นี่คือการสร้างซ้ำครั้งแรก จากนั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเปลี่ยนบางส่วนเป็นตัวเลขที่คล้ายกับส่วนย่อย และอื่นๆ หากเราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เราจะได้เศษส่วนในขีดจำกัด

ลองพิจารณากระบวนการนี้โดยใช้เส้นโค้ง Koch เป็นตัวอย่าง เป็นพื้นฐานสำหรับเส้นโค้ง Koch คุณสามารถใช้เส้นโค้งใดก็ได้ (สำหรับ "เกล็ดหิมะ Koch" เป็นรูปสามเหลี่ยม) แต่เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในกรณีที่ง่ายที่สุด - ส่วน แฟรกเมนต์เป็นเส้นขาดที่แสดงไว้ที่ด้านบนสุดในรูป หลังจากการทำซ้ำครั้งแรกของอัลกอริทึม ในกรณีนี้ ส่วนเริ่มต้นจะตรงกับส่วนย่อย จากนั้นแต่ละส่วนขององค์ประกอบจะถูกแทนที่ด้วยเส้นที่ขาด คล้ายกับส่วนย่อย ฯลฯ รูปแสดงสี่ขั้นตอนแรกของ กระบวนการนี้

Fractals
Fractals

ในภาษาของคณิตศาสตร์: แฟร็กทัล (พีชคณิต) แบบไดนามิก

Fractals ประเภทนี้เกิดขึ้นในการศึกษาระบบไดนามิกที่ไม่เป็นเชิงเส้น (จึงเป็นชื่อ) พฤติกรรมของระบบดังกล่าวสามารถอธิบายได้โดยฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเชิงซ้อน (พหุนาม) f (z) ใช้จุดเริ่มต้น z0 บนระนาบเชิงซ้อน (ดูแถบด้านข้าง) ทีนี้ลองพิจารณาลำดับของตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อนซึ่งแต่ละค่าต่อไปนี้ได้มาจากลำดับก่อนหน้า: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น z0 ลำดับดังกล่าวสามารถทำงานแตกต่างกัน: มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเป็น n -> ∞; มาบรรจบกันที่จุดสิ้นสุดบางจุด ใช้ค่าคงที่จำนวนหนึ่งเป็นวงกลม มีตัวเลือกที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วย

ตัวเลขที่ซับซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนที่ประกอบด้วยสองส่วน - จริงและจินตภาพ นั่นคือ ผลรวมอย่างเป็นทางการ x + iy (ในที่นี้ x และ y เป็นจำนวนจริง) ฉันคือสิ่งที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพ นั่นคือ จำนวนที่ตรงกับสมการ i ^ 2 = -1 การคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานถูกกำหนดไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน - การบวก การคูณ การหาร การลบ (ไม่ได้กำหนดเฉพาะการดำเนินการเปรียบเทียบ) ในการแสดงจำนวนเชิงซ้อน มักใช้การแสดงทางเรขาคณิต - บนระนาบ (เรียกว่าเชิงซ้อน) ส่วนจริงจะวางบน abscissa และส่วนจินตภาพบนพิกัด ในขณะที่จำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับจุดที่มีคาร์ทีเซียน พิกัด x และ y

ดังนั้น จุด z ใดๆ ของระนาบเชิงซ้อนจึงมีลักษณะพฤติกรรมของตัวเองในระหว่างการวนซ้ำของฟังก์ชัน f (z) และระนาบทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ในกรณีนี้ จุดที่วางอยู่บนขอบเขตของชิ้นส่วนเหล่านี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับการกระจัดเล็กน้อยโดยพลการ ธรรมชาติของพฤติกรรมจะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว (จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดหักเห) ดังนั้น ปรากฎว่าชุดของจุดที่มีลักษณะเฉพาะประเภทหนึ่ง เช่นเดียวกับชุดของจุดแยกสองแฉก มักจะมีคุณสมบัติเศษส่วน นี่คือเซตจูเลียสำหรับฟังก์ชัน f (z)

ครอบครัวมังกร

วิดเจ็ตที่น่าสนใจ
วิดเจ็ตที่น่าสนใจ

ด้วยการเปลี่ยนฐานและส่วนย่อย คุณจะได้แฟร็กทัลเชิงสร้างสรรค์ที่หลากหลายที่น่าทึ่ง

นอกจากนี้ การดำเนินการที่คล้ายกันสามารถทำได้ในพื้นที่สามมิติ ตัวอย่างของเศษส่วนปริมาตร ได้แก่ ฟองน้ำของ Menger, ปิรามิดเซียร์พินสกี้ และอื่นๆ

ตระกูลมังกรเรียกอีกอย่างว่าเศษส่วนเชิงสร้างสรรค์ บางครั้งพวกเขาถูกเรียกตามชื่อของผู้ค้นพบว่า "มังกรแห่งทางหลวง - ฮาร์เตอร์" (ในรูปแบบของพวกเขาพวกมันคล้ายกับมังกรจีน) มีหลายวิธีในการวาดเส้นโค้งนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดและเข้าใจง่ายที่สุดคือ: คุณต้องใช้กระดาษแถบยาวพอสมควร (กระดาษยิ่งบาง ยิ่งดี) แล้วพับครึ่ง จากนั้นงอสองครั้งอีกครั้งในทิศทางเดียวกับครั้งแรก

หลังจากการทำซ้ำหลายครั้ง (โดยปกติหลังจากห้าหรือหกเท่า แถบจะหนาเกินกว่าจะงอได้อีกอย่างเรียบร้อย) คุณต้องคลายแถบไปด้านหลัง และพยายามสร้างมุม 90˚ ที่รอยพับ จากนั้นความโค้งของมังกรก็จะปรากฏในโปรไฟล์ แน่นอนว่านี่เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น เช่นเดียวกับความพยายามทั้งหมดของเราในการพรรณนาวัตถุเศษส่วน คอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณแสดงขั้นตอนต่างๆ ในกระบวนการนี้ได้มากขึ้น และผลลัพธ์ที่ได้คือรูปร่างที่สวยงามมาก

ชุด Mandelbrot สร้างขึ้นในลักษณะที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย พิจารณาฟังก์ชัน fc (z) = z ^ 2 + c โดยที่ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เราสร้างลำดับของฟังก์ชันนี้ด้วย z0 = 0 ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ c มันสามารถแยกออกเป็นอนันต์หรือยังคงมีขอบเขต ยิ่งกว่านั้น ค่าทั้งหมดของ c ที่ลำดับนี้ถูก จำกัด จากชุด Mandelbrot Mandelbrot ศึกษารายละเอียดด้วยตัวเองและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ซึ่งค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายของชุดนี้

จะเห็นได้ว่าคำจำกัดความของชุด Julia และ Mandelbrot มีความคล้ายคลึงกัน อันที่จริง ทั้งสองชุดนี้มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด กล่าวคือ ชุด Mandelbrot คือค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่ซับซ้อน c ที่ชุด Julia fc (z) เชื่อมต่ออยู่ (ชุดจะเรียกว่าเชื่อมต่อ หากไม่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนที่แยกจากกัน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ)

Fractals
Fractals

เศษส่วนและชีวิต

ทุกวันนี้ ทฤษฎีเศษส่วนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ นอกเหนือจากวัตถุทางวิทยาศาสตร์อย่างหมดจดสำหรับการวิจัยและการวาดภาพเศษส่วนที่กล่าวมาแล้ว เศษส่วนยังใช้ในทฤษฎีข้อมูลเพื่อบีบอัดข้อมูลกราฟิก (ในที่นี้คุณสมบัติความคล้ายคลึงในตนเองของเศษส่วนส่วนใหญ่จะใช้ - ท้ายที่สุดเพื่อที่จะจำส่วนเล็ก ๆ ของ รูปวาดและการแปลงซึ่งคุณสามารถรับส่วนอื่น ๆ ได้ หน่วยความจำที่จำเป็นน้อยกว่าการจัดเก็บไฟล์ทั้งหมด)

โดยการเพิ่มการรบกวนแบบสุ่มลงในสูตรที่กำหนดแฟร็กทัล เราสามารถรับ stochastic fractals ที่ถ่ายทอดวัตถุจริงบางอย่างได้อย่างน่าเชื่อถือ - องค์ประกอบบรรเทาทุกข์ พื้นผิวของแหล่งน้ำ พืชบางชนิด ซึ่งประสบความสำเร็จในการใช้ในฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ และคอมพิวเตอร์กราฟิก ความคล้ายคลึงของวัตถุจำลองกับของจริง ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์มีการผลิตเสาอากาศที่มีรูปร่างเป็นเศษส่วน ใช้พื้นที่เพียงเล็กน้อย แต่ให้การรับสัญญาณคุณภาพสูง

นักเศรษฐศาสตร์ใช้เศษส่วนเพื่ออธิบายเส้นโค้งอัตราสกุลเงิน (ทรัพย์สินที่ Mandelbrot ค้นพบ) เป็นการสรุปการเดินทางเล็กๆ น้อยๆ นี้ไปสู่โลกที่สวยงามและหลากหลายของเศษส่วน